Question

A.P. യുടെ 21-ാം പദത്തിന്റെയും 30-ാം പദത്തിന്റെയും അനുപാതം 3 : 4 ആണ്. അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെയും ആദ്യ 31 പദങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയുടെ അനുപാതം?

• A. 115:682
• B. 115:131
• C. 5:31
• D. 23:22

Answer 1

Answer:

A. 115:682

$a_{21} = a + 20d$

$a_{30} = a + 29d$

അനുപാതം 3:4 ആണെന്ന് പറയുമ്പോൾ

$\frac{a_{21}}{a_{30}} = \frac{3}{4}$

അതിനാൽ:

$\frac{a + 20d}{a + 29d} = \frac{3}{4}$

4(a + 20d) = 3(a + 29d)

4a + 80d = 3a + 87d

4a - 3a = 87d - 80d

a = 7d

ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക:

$S_{10} = \frac{10}{2} \times (2a + (10 - 1) \times d) = 5 \times (2a + 9d)$

ആദ്യത്തെ 31 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക:

A.P.-യുടെ ആദ്യ 31 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക:

$S_{31} = \frac{31}{2} \times (2a + (31 - 1) \times d) = \frac{31}{2} \times (2a + 30d)$

$\frac{S_{10}}{S_{31}}= \frac{5 \times (2a + 9d)}{\frac{31}{2} \times (2a + 30d)}$

a = 7d ഉപയോഗിച്ച്, ഇത് പരിഹരിക്കുക:

$= \frac{10 \times (2(7d) + 9d)}{31 \times (2(7d) + 30d)} = \frac{10 \times (14d + 9d)}{31 \times (14d + 30d)}$

$= \frac{10 \times 23d}{31 \times 44d} = \frac{10 \times 23}{31 \times 44}$

$\frac{S_{10}}{S_{31}}= \frac{230}{1364} = \frac{115}{682}$

ആകയാൽ, ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെയും ആദ്യ 31 പദങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയുടെ അനുപാതം 115:682 ആണ്.