Question:
സാധാരണ വ്യത്യാസം പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ 3n സംഖ്യകളുടെ ആകെ തുക അടുത്ത n സംഖ്യകളുടെ തുകയോട് തുല്യമാണ്. എങ്കിൽ ആദ്യത്തെ 2n സംഖ്യകളുടെ ആകെ തുകകളുടെയും അതിനുശേഷം ഉള്ള 2n സംഖ്യകളുടെയും അനുപാതം എത്രയാണ്?
A5:1
B1:5
C1:10
D10:1
Answer:
B. 1:5
Explanation:
ചോദ്യത്തിൽ ആദ്യ 3n പദങ്ങളുടെ തുകയും അടുത്ത n പദങ്ങളുടെ തുകയും ഉപയോഗിക്കുന്നു.അതായത് ആകെ 3n + n = 4n പദങ്ങൾ ഉണ്ട്
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ n സംഖ്യകളുടെ തുക = n/2[2a + (n - 1)d]
ചോദ്യത്തിലെ,
അടുത്ത n സംഖ്യകളുടെ തുക = ആദ്യ 4n സംഖ്യകളുടെ തുക (S4n) - ആദ്യ 3n സംഖ്യകളുടെ തുക(S3n)
ആദ്യ 3n സംഖ്യകളുടെ തുക (S3n) = 3n/2[2a + (3n - 1)d]
ആദ്യ 4n സംഖ്യകളുടെ തുക (S4n) = 4n/2[2a + (4n - 1)d]
അടുത്ത n സംഖ്യകളുടെ തുക = S4n - S3n
അടുത്ത n സംഖ്യകളുടെ തുക = ആദ്യ 3n സംഖ്യകളുടെ തുക (S3n)
S4n - S3n = S3n
S4n = 2 × S3n
4n/2[2a + (4n - 1)d] = 2 × 3n/2[2a + (3n - 1)d]
3n[2a+(3n−1)d] = 2n[2a+(4n−1)d]
6a+9nd−3d = 4a+8nd−2d
6a − 4a = 3d − 2d + 8nd−9nd
2a = d + (−nd)
2a = d(1−n)------------(1)
ആദ്യത്തെ 2n സംഖ്യകളുടെ ആകെ തുക (S2n) = 2n/2 [ 2a + (2n-1)d ]
= n [ 2a + (2n-1)d ]
അതിനുശേഷം ഉള്ള 2n സംഖ്യകളുടെ തുക = S4n - S2n
S4n = 4n/2 [ 2a + (4n-1)d ]
= 4n/2 [ 2a + (4n-1)d ] - 2n/2 [ 2a + (2n-1)d ]
= 2n[ 2a + (4n-1)d ] - n[ 2a + (2n-1)d ]
ആദ്യത്തെ 2n സംഖ്യകളുടെ ആകെ തുകകളുടെയും അതിനുശേഷം ഉള്ള 2n സംഖ്യകളുടെയും അനുപാതം
S2n/S4n−S2n = n [ 2a + (2n-1)d ] / 2n[ 2a + (4n-1)d ] - n[ 2a + (2n-1)d ]
= [ 2a + (2n-1)d ] / 2[ 2a + (4n-1)d ] - [ 2a + (2n-1)d ]
Using equation (1) and substituting 2a = (1-n)d
= [ (1-n)d + (2n-1)d ] / 2[ (1-n)d + (4n-1)d ] - [ (1-n)d + (2n-1)d ]
= [d - nd + 2nd - d] / [2d - 2nd + 8nd - 2d - d + nd - 2nd + d]
= nd / 5nd
= 1/5
ആദ്യത്തെ 2n സംഖ്യകളുടെ ആകെ തുകകളുടെയും അതിനുശേഷം ഉള്ള 2n സംഖ്യകളുടെയും അനുപാതം = 1 : 5
S2nS4n−S2n